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 已知函數(shù)與函數(shù)

()的圖象有且只有一條公切線，求實數(shù)的值．

分析與解 法一 分離

由于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別為

設(shè)公切線與函數(shù)與函數(shù)的圖象分別相切于與

，則

從而

，且

即

于是

即

其中

．記上述等式右邊為，對求導(dǎo)得

可以證明當(dāng)時，；當(dāng)時，（可以利用與

的大小關(guān)系得到與

的大小關(guān)系，從而得到結(jié)論）．

從而有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，取得最小值．因此當(dāng)

時，符合題意．

綜上所述，實數(shù)的值為，對應(yīng)的公切線方程為

．

法二 不分離

在點處的切線為

而在點

處的切線為

由這兩條切線重合知

問題即當(dāng)在什么范圍內(nèi)時，關(guān)于的方程有唯一一組解．因為與的值一一對應(yīng)，如果在方程組中消去，得到

此方程組對有唯一解，不好計算；

如果在方程組中消去得到

對有唯一解，記左邊為，則有

方程組有解時有，所以在

上單調(diào)遞減，在

上單調(diào)遞增，所以

而當(dāng)與時，均有，所以當(dāng)且僅當(dāng)這個最小值等于零時方程有唯一解．

最后解方程

顯然

是它的解，考慮

，有，所以在

上單調(diào)遞增，在

上單調(diào)遞減，所以是的唯一解，所以