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 已知橢圓

()的離心率

，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為．

(1) 求橢圓的方程；

(2) 斜率為的動(dòng)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在平面上是否存在定點(diǎn)，使得當(dāng)直線與直線的斜率均存在時(shí)，斜率之和是與無(wú)關(guān)的常數(shù)?若存在，求出所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

分析與解(1) 根據(jù)題意，通徑長(zhǎng)

，于是橢圓的方程為

．

(2) 法一 仿射變換

利用仿射變換．設(shè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為，平移坐標(biāo)系，使點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則橢圓方程變?yōu)?/p>

當(dāng)不過(guò)點(diǎn)時(shí)，設(shè)動(dòng)直線的方程為，則聯(lián)立直線與橢圓方程，有

整理得的系數(shù)為

而的系數(shù)為

根據(jù)題意，直線與直線的斜率之和

為定值．于是

解得，

或，

．對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在橢圓上，于是不需要考慮過(guò)點(diǎn)的情形．

綜上所述，所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)為

或

．

注可以將橢圓仿射為圓，則直線的斜率為

，于是點(diǎn)始終平分弧，進(jìn)而可取，此時(shí)，因此直線與直線的斜率始終互為相反數(shù)，符合題意．

法二 直接計(jì)算

設(shè)

，與橢圓方程聯(lián)立得設(shè)

，則有直線的斜率之和

當(dāng)

時(shí)斜率的和恒為，解得

綜上所述，所有滿足條件的定點(diǎn)的坐標(biāo)為

或