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(2011年廣東卷)設，數(shù)列滿足，
(，)．
(1) 求數(shù)列的通項公式；
(2) 證明：對于一切正整數(shù)，
．
分析與解(1) 當時，
，則數(shù)列
是以
為首項，為公差的等差數(shù)列，于是
，從而．
當時，
法一有
猜想
，下面用數(shù)學歸納法證明．
當時，猜想顯然成立；
假設當時，
，則
所以當時猜想亦成立．
綜上，猜想得證，因此
，．
法二由
可得數(shù)列
是以
為首項，為公比的等比數(shù)列，于是
于是
．
(2) 當時，，
，于是
從而原不等式成立；
當時，
法一欲證明不等式即
整理知也即證
設不等式左側為，注意到
于是
所以考慮到
而
于是．
法二用分析法，有
由均值不等式，上述不等式成立，因此原命題得證．
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