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 級(jí)數(shù)不等式的證明題是一種常見(jiàn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明級(jí)數(shù)不等式更是一種典型問(wèn)題，有好多學(xué)生，甚至老師對(duì)這類問(wèn)題很畏懼，其實(shí)只要抓住這類問(wèn)題的本質(zhì)進(jìn)行合理的處理，問(wèn)題就可以迎刃而解了．要解決這類問(wèn)題，通常需要分析通項(xiàng)，得到一個(gè)不等關(guān)系，然后累加即可得到要證明的式子．例如：要證明

，只要證明，再注意一下時(shí)的式子即可．

例 已知函數(shù)，

，．

（1）若在定義域內(nèi)恒成立，求的取值范圍；

（2）當(dāng)?。?）中的最大值時(shí)，求函數(shù)的最小值；

（3）證明不等式

．

——提問(wèn)者：888888中山大學(xué) 2016-09-19 00:23

分析本題的第一、第二問(wèn)都是基礎(chǔ)題，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，難點(diǎn)顯然在第三問(wèn)．事實(shí)上，前兩問(wèn)都是為第三問(wèn)做準(zhǔn)備的，下面來(lái)看一下具體的解析過(guò)程．

解（解答者：df0817）

（1）由題意有在恒成立，令則

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以于是．

（2）由題意

求導(dǎo)

令則所以在上單調(diào)遞增，注意到所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以即的最小值為．

（3）級(jí)數(shù)不等式的通項(xiàng)為

，分析通項(xiàng)

只需證明

即

這個(gè)式子的證明可以借助第二問(wèn)中的結(jié)論，由（2）可得

即

分析(i)(ii)兩式可設(shè)

則

于是(i)式成立，所以得證．

注解決本題時(shí)，分析通項(xiàng)是關(guān)鍵．在解題時(shí)，可以把已知的函數(shù)不等式和要證的通項(xiàng)進(jìn)行對(duì)照，必要時(shí)可以通過(guò)合理的變形，把它們聯(lián)系起來(lái)．

練習(xí)

1．已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)在其定義域上為增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）設(shè)

，求證：

——提問(wèn)者：weilew 2016-09-19 09:42

2．已知函數(shù)

，且在

處的切線方程為．

（1）求 的解析式；

（2）證明：當(dāng)時(shí)，恒有；

（3）證明：若，且

，則

——提問(wèn)者：Imagine 2016-09-04 11:30

3．求證：當(dāng)且時(shí)，

——提問(wèn)者：湫兮如風(fēng)凄兮如雨 2016-09-15 09:04

答案

1．（1）；（2）略

2．（1）

；（2）（3）略

3．略

備注：若要查閱詳細(xì)的解答過(guò)程，請(qǐng)?jiān)诠庾訂?wèn)答APP中搜索用戶名，查看用戶提問(wèn)的問(wèn)題，找到對(duì)應(yīng)時(shí)間所發(fā)的題即可．