08：00-24:00
2011年廣東卷高考數學理科第21題（壓軸題）：
在平面直角坐標系上，給定拋物線
．實數滿足，是方程的兩根，記．
(1) 過點
()作的切線交軸于點．證明：對線段上的任一點，有
；
(2) 設是定點，其中滿足，．過作的兩條切線，切點分別為
，
，與軸分別交于．線段上異于兩端點的點集記為．證明：
(3) 記
，當取遍時，求的最小值(記為)和最大值(記為)．
分析與解(1)法一顯然
在拋物線上，于是過點的拋物線的切線方程為
若，則線段的方程為
若，則線段的方程為
又若，則方程的兩根為
，若在線段上，則
從而，從而兩根為
當時，，則
當時，，則
因此原命題得證．
法二過點的拋物線的切線方程為
于是有
，從而考慮方程
的兩根即可．
記方程左邊為，則有
所以方程的一根為
，另一根
，從而知
．
(2) 由題意知的方程分別為
聯立解得點的坐標為
．從而考慮方程
它的兩根為
，所以
．
由此知等價于
．下面證明當與它們等價：
由(1)知時，
；
若，有
從而有．
(3) 如圖，表示直線與拋物線
所圍成的封閉區域(包含邊界)，其中，是直線與拋物線的兩個交點．
當點時，有
從而其中．于是有
從而
因此．
設，其中，則
所以
．
綜上所述，且
根據學生的高考分數、意向專業 為您查找適合你的院校列表， 24小時內短信電話發送給你！
