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 　　已知橢圓

()的離心率

，過焦點且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．

(1) 求橢圓的方程；

(2) 斜率為的動直線與橢圓交于兩點，在平面上是否存在定點，使得當直線與直線的斜率均存在時，斜率之和是與無關的常數?若存在，求出所有滿足條件的定點的坐標；若不存在，請說明理由．

分析與解(1) 根據題意，通徑長

，于是橢圓的方程為

．

(2) 法一 仿射變換

利用仿射變換．設定點的坐標為，平移坐標系，使點為坐標原點，則橢圓方程變為

當不過點時，設動直線的方程為，則聯立直線與橢圓方程，有

整理得的系數為

而的系數為

根據題意，直線與直線的斜率之和

為定值．于是

解得，

或，

．對應的點在橢圓上，于是不需要考慮過點的情形．

綜上所述，所有滿足條件的定點的坐標為

或

．

注可以將橢圓仿射為圓，則直線的斜率為

，于是點始終平分弧，進而可取，此時，因此直線與直線的斜率始終互為相反數，符合題意．

法二 直接計算

設

，與橢圓方程聯立得設

，則有直線的斜率之和

當

時斜率的和恒為，解得

綜上所述，所有滿足條件的定點的坐標為

或