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(2013年海淀高三期末)已知正方體的棱長為，動點在正方體表面上運動，且()．記點的軌跡的長度為．
(1) 求
；
(2) 求出關于的方程的解的個數的所有可能的值，并說明理由．
分析與解由于正方體繞其體對角線旋轉后仍與自身重合，于是為點在正方體的側面與上的軌跡長度之和的倍．將右側面翻折至與側面重合，如圖．稍加探索可以發現和是兩個分界點．
(1) 當時，有
，于是
．
(2) 當時，圖中弧的半徑為，所對的圓心角為
記
，其中
，則對應的弧長
其導函數
于是隨著的增大，隨之增大，對應的弧長隨之減小，隨之減小．
當時，設
，其中
，則弧長之和
于是
設
則
，
，而
因此在
上先負后正，對應的在
先遞減再遞增．
這樣我們就可以勾勒出函數的圖象如下．
于是方程的解的個數的所有可能值為．
注本題是北京海淀區高三期末考試的一道填空題，為了嚴格地說清為什么解的個數有且只有這些很需要費一番功夫．
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